Eine quadratische Gleichung grafisch darstellen – wikiHow

2024 Autor: Robert Blare | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-02-02 02:05

Wenn grafisch dargestellt, quadratische Gleichungen der Form Axt² + bx + c oder a(x - h)² + k ergeben eine glatte U-förmige oder eine umgekehrte U-förmige Kurve, die als Parabel bezeichnet wird. Um eine quadratische Gleichung grafisch darzustellen, müssen Sie ihren Scheitelpunkt, ihre Richtung und oft ihre x- und y-Achsenabschnitte finden. Bei relativ einfachen quadratischen Gleichungen kann es auch ausreichen, einen Bereich von x-Werten einzufügen und anhand der resultierenden Punkte eine Kurve zu zeichnen. Siehe Schritt 1 unten, um zu beginnen.

Schritte

Schritt 1. Bestimmen Sie, welche Form der quadratischen Gleichung Sie haben

Die quadratische Gleichung kann in drei verschiedenen Formen geschrieben werden: die Standardform, die Scheitelpunktform und die quadratische Form. Sie können beide Formen verwenden, um eine quadratische Gleichung darzustellen; der Prozess für die grafische Darstellung ist jeweils etwas anders. Wenn Sie eine Hausaufgabe machen, erhalten Sie die Aufgabe normalerweise in einer dieser beiden Formen – mit anderen Worten, Sie können nicht wählen, also ist es am besten, beide zu verstehen. Die zwei Formen der quadratischen Gleichung sind:

• Standardform.

  In dieser Form wird die quadratische Gleichung geschrieben als: f(x) = ax² + bx + c wobei a, b und c reelle Zahlen sind und a ungleich Null ist.

  Zum Beispiel sind zwei quadratische Gleichungen in Standardform f(x) = x² + 2x + 1 und f(x) = 9x² + 10x -8.

• Scheitelpunktform.

  In dieser Form wird die quadratische Gleichung geschrieben als: f(x) = a(x - h)² + k wobei a, h und k reelle Zahlen sind und a ungleich Null ist. Die Scheitelpunktform wird so genannt, weil h und k dir direkt den Scheitelpunkt (Mittelpunkt) deiner Parabel am Punkt (h, k) liefern.

  Zwei Scheitelpunktformgleichungen sind f(x) = 9(x - 4)² + 18 und -3 (x - 5)² + 1

• Um einen dieser Gleichungstypen darzustellen, müssen wir zuerst den Scheitelpunkt der Parabel finden, der der Mittelpunkt (h, k) an der "Spitze" der Kurve ist. Die Koordinaten des Scheitels in Standardform sind gegeben durch: h = -b/2a und k = f(h), während in Scheitelform h und k in der Gleichung angegeben sind.

Schritt 2. Definieren Sie Ihre Variablen

Um ein quadratisches Problem lösen zu können, müssen in der Regel die Variablen a, b und c (bzw. a, h und k) definiert werden. Eine durchschnittliche Algebraaufgabe liefert Ihnen eine quadratische Gleichung mit den ausgefüllten Variablen, normalerweise in Standardform, manchmal aber auch in Scheitelpunktform.

• Für die Standardformgleichung f(x) = 2x² +16x + 39, wir haben a = 2, b = 16 und c = 39.
• Für die Scheitelpunktformgleichung f(x) = 4(x - 5)² + 12, wir haben a = 4, h = 5 und k = 12.

Schritt 3. Berechnen Sie h

In Scheitelpunktgleichungen ist Ihr Wert für h bereits angegeben, aber in Standardformgleichungen muss er berechnet werden. Denken Sie daran, dass für Standardformgleichungen h = -b/2a ist.

• In unserem Standardformbeispiel (f(x) = 2x² +16x + 39), h = –b/2a = –16/2(2). Beim Auflösen finden wir h = - 4.
• In unserem Beispiel für die Scheitelpunktform (f(x) = 4(x - 5)² + 12), wissen wir h = 5, ohne etwas zu rechnen.

Schritt 4. Berechnen Sie k

Wie bei h ist k bereits in Scheitelpunktgleichungen bekannt. Denken Sie bei Standardformgleichungen daran, dass k = f(h) ist. Mit anderen Worten, Sie können k finden, indem Sie jedes Vorkommen von x in Ihrer Gleichung durch den Wert ersetzen, den Sie gerade für h gefunden haben.

• Wir haben in unserem Standardformbeispiel ermittelt, dass h = -4. Um k zu finden, lösen wir unsere Gleichung mit unserem Wert für h und ersetzen x:

  • k = 2(-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2(16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Schritt 7.

• Auch in unserem Beispiel mit Scheitelpunktform kennen wir den Wert von k (der 12 ist), ohne dass wir irgendwelche Berechnungen durchführen müssen.

Schritt 5. Zeichnen Sie Ihren Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt Ihrer Parabel ist der Punkt (h, k) - h gibt die x-Koordinate an, während k die y-Koordinate angibt. Der Scheitelpunkt ist der zentrale Punkt in Ihrer Parabel - entweder ganz unten in einem "U" oder ganz oben in einem auf dem Kopf stehenden "U". Die Kenntnis des Scheitelpunkts ist ein wesentlicher Bestandteil der grafischen Darstellung einer genauen Parabel - in Schulaufgaben ist die Angabe des Scheitelpunkts oft ein erforderlicher Teil einer Frage.

• In unserem Standardformularbeispiel liegt unser Scheitelpunkt bei (-4, 7). Unsere Parabel erreicht also 4 Leerzeichen links von 0 und 7 Leerzeichen darüber (0, 0). Wir sollten diesen Punkt in unserem Diagramm einzeichnen und dabei die Koordinaten beschriften.
• In unserem Beispiel für die Scheitelpunktform liegt unser Scheitelpunkt bei (5, 12). Wir sollten einen Punkt 5 Leerzeichen rechts und 12 Leerzeichen darüber (0, 0) zeichnen.

Schritt 6. Zeichnen Sie die Achse der Parabel (optional)

Die Symmetrieachse einer Parabel ist die Linie, die durch ihre Mitte verläuft und sie perfekt in zwei Hälften teilt. Auf dieser Achse spiegelt die linke Seite der Parabel die rechte Seite. Für Quadrate der Form ax² + bx + c oder a(x - h)² + k, die Achse ist eine Linie parallel zur y-Achse (mit anderen Worten, perfekt vertikal) und geht durch den Scheitelpunkt.

In unserem Standardformbeispiel ist die Achse eine Linie parallel zur y-Achse und geht durch den Punkt (-4, 7). Obwohl sie nicht Teil der Parabel selbst ist, kann eine leichte Markierung dieser Linie in Ihrem Diagramm Ihnen helfen, die symmetrische Kurve der Parabel zu erkennen

Schritt 7. Finden Sie die Öffnungsrichtung

Nachdem wir den Scheitelpunkt und die Achse der Parabel ermittelt haben, müssen wir als nächstes wissen, ob sich die Parabel nach oben oder unten öffnet. Das ist zum Glück ganz einfach. Wenn "a" positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben, ist "a" negativ, öffnet sich die Parabel nach unten (d.h. sie wird auf den Kopf gestellt).

• Für unser Standardformbeispiel (f(x) = 2x² +16x + 39), wissen wir, dass wir eine nach oben öffnende Parabel haben, weil in unserer Gleichung a = 2 (positiv) ist.
• Für unser Vertex-Form-Beispiel (f(x) = 4(x - 5)² + 12), wissen wir, dass wir auch eine nach oben öffnende Parabel haben, weil a = 4 (positiv).

Schritt 8. Falls erforderlich, finden und zeichnen Sie x Achsenabschnitte

Bei Schulaufgaben werden Sie oft aufgefordert, die x-Achsenabschnitte einer Parabel zu finden (die entweder ein oder zwei Punkte sind, an denen die Parabel auf die x-Achse trifft). Auch wenn Sie sie nicht finden, können diese beiden Punkte für das Zeichnen einer genauen Parabel von unschätzbarem Wert sein. Allerdings haben nicht alle Parabeln x-Achsenabschnitte. Wenn Ihre Parabel einen Scheitel hat, der sich nach oben öffnet und einen Scheitel über der x-Achse hat oder wenn sie sich nach unten öffnet und einen Scheitel unter der x-Achse hat, es wird keine x-Abschnitte haben. Andernfalls lösen Sie nach Ihren x-Achsenabschnitten mit einer der folgenden Methoden auf:

• Setze einfach f(x) = 0 und löse die Gleichung. Diese Methode kann für einfache quadratische Gleichungen funktionieren, insbesondere in Scheitelpunktform, wird sich jedoch für kompliziertere als äußerst schwierig erweisen. Siehe unten für ein Beispiel

  • f(x) = 4(x - 12)² - 4
  • 0 = 4(x - 12)² - 4
  • 4 = 4(x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt(1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 und 13 sind die x-Achsenabschnitte der Parabel.

• Faktorisieren Sie Ihre Gleichung. Einige Gleichungen in der ax² + bx + c Form kann leicht in die Form (dx + e)(fx +g) eingerechnet werden, wobei dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx und e × g = c. In diesem Fall sind Ihre x-Achsenabschnitte die Werte für x, die einen der beiden Terme in Klammern = 0 machen. Beispiel:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • In diesem Fall ist Ihr einziger x-Achsenabschnitt -1, da das Setzen von x auf -1 einen der faktorisierten Terme in Klammern gleich 0 macht.

• Verwenden Sie die quadratische Formel. Wenn Sie Ihre Gleichung nicht einfach nach Ihren x-Achsenabschnitten auflösen oder Ihre Gleichung faktorisieren können, verwenden Sie eine spezielle Gleichung namens quadratische Formel, die für diesen Zweck entwickelt wurde. Falls noch nicht geschehen, bringen Sie Ihre Gleichung in die Form ax² + bx + c, dann setze a, b und c in die Formel x = (-b +/- SqRt(b² - 4ac))/2a. Beachten Sie, dass dies oft zwei Antworten für x gibt, was in Ordnung ist - dies bedeutet nur, dass Ihre Parabel zwei x-Achsenabschnitte hat. Siehe unten für ein Beispiel:

  • -5x² + 1x + 10 wird wie folgt in die quadratische Formel gesteckt:
  • x = (-1 +/- SqRt(1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt(1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt(201))/-10
  • x = (-1 +/- 14,18)/-10
  • x = (13,18/-10) und (-15,18/-10). Die x Achsenabschnitte der Parabel liegen ungefähr bei x = - 1.318 und 1.518
  • Unser bisheriges Standardformularbeispiel, 2x² + 16x + 39 wird wie folgt in die quadratische Formel gesteckt:
  • x = (-16 +/- SqRt(16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt(256 - 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt(-56)/-10
  • Da es unmöglich ist, die Quadratwurzel einer negativen Zahl zu finden, wissen wir, dass keine x-Abschnitte für diese spezielle Parabel existieren.

Schritt 9. Falls erforderlich, finden und zeichnen Sie den y-Achsenabschnitt

Obwohl es oft nicht notwendig ist, den y-Achsenabschnitt einer Gleichung (der Punkt, an dem die Parabel durch die y-Achse verläuft) zu finden, müssen Sie möglicherweise irgendwann dazu aufgefordert werden, insbesondere wenn Sie in der Schule sind. Dieser Vorgang ist ziemlich einfach - setzen Sie einfach x = 0 und lösen Sie dann Ihre Gleichung nach f(x) oder y, wodurch Sie den y-Wert erhalten, bei dem Ihre Parabel durch die y-Achse verläuft. Im Gegensatz zu x-Achsenabschnitten können Standardparabeln nur einen y-Achsenabschnitt haben. Hinweis - Bei Standardformgleichungen liegt der y-Achsenabschnitt bei y = c.

• Zum Beispiel kennen wir unsere quadratische Gleichung 2x² + 16x + 39 hat einen y-Achsenabschnitt bei y = 39, kann aber auch wie folgt gefunden werden:

  • f(x) = 2x² + 16x + 39
  • f(x) = 2(0)² + 16(0) + 39

  • f(x) = 39. Der y-Achsenabschnitt der Parabel liegt bei j = 39.

    Wie oben erwähnt, liegt der y-Achsenabschnitt bei y = c.

• Unsere Scheitelpunktformgleichung 4(x - 5)² + 12 hat einen y-Achsenabschnitt, der wie folgt gefunden werden kann:

  • f(x) = 4(x - 5)² + 12
  • f(x) = 4(0 - 5)² + 12
  • f(x) = 4(-5)² + 12
  • f(x) = 4(25) + 12

  • f(x) = 112. Der y-Achsenabschnitt der Parabel liegt bei y = 112.

Schritt 10. Wenn nötig, zeichnen Sie zusätzliche Punkte und zeichnen Sie dann

Sie sollten jetzt einen Scheitelpunkt, eine Richtung, einen oder mehrere x-Achsenabschnitte und möglicherweise einen y-Achsenabschnitt für Ihre Gleichung haben. An dieser Stelle können Sie entweder versuchen, Ihre Parabel mit den Punkten zu zeichnen, die Sie als Richtlinie haben, oder Sie können weitere Punkte finden, um Ihre Parabel zu "füllen", damit die von Ihnen gezeichnete Kurve genauer ist. Der einfachste Weg, dies zu tun, besteht darin, einfach ein paar x-Werte auf beiden Seiten Ihres Scheitelpunkts einzufügen und diese Punkte dann mit den erhaltenen y-Werten zu zeichnen. Oftmals verlangen Lehrer von Ihnen, dass Sie eine bestimmte Anzahl von Punkten erreichen, bevor Sie Ihre Parabel zeichnen.

• Betrachten wir die Gleichung x² + 2x + 1. Wir wissen bereits, dass sein einziger x-Achsenabschnitt bei x = -1 liegt. Da es den x-Achsenabschnitt nur an einem Punkt berührt, können wir folgern, dass sein Scheitelpunkt sein x-Achsenabschnitt ist, was bedeutet, dass sein Scheitelpunkt (-1, 0) ist. Wir haben effektiv nur einen Punkt für diese Parabel - nicht annähernd genug, um eine gute Parabel zu zeichnen. Lassen Sie uns noch ein paar mehr finden, um sicherzustellen, dass wir ein genaues Diagramm zeichnen.

  • Lassen Sie uns die y-Werte für die folgenden x-Werte ermitteln: 0, 1, -2 und -3.
  • Für 0: f(x) = (0)² + 2(0) + 1 = 1. Unser Punkt ist (0, 1).

  • Zu 1: f(x) = (1)² + 2(1) + 1 = 4. Unser Punkt ist (1, 4).

  • Für -2: f(x) = (-2)² + 2(-2) + 1 = 1. Unser Punkt ist (-2, 1).

  • Für -3: f(x) = (-3)² + 2(-3) + 1 = 4. Unser Punkt ist (-3, 4).

  • Tragen Sie diese Punkte in das Diagramm ein und zeichnen Sie Ihre U-förmige Kurve. Beachten Sie, dass die Parabel perfekt symmetrisch ist - wenn Ihre Punkte auf einer Seite der Parabel auf ganzen Zahlen liegen, können Sie sich normalerweise etwas Arbeit ersparen, indem Sie einfach einen bestimmten Punkt über die Symmetrieachse der Parabel spiegeln, um den entsprechenden Punkt auf der anderen Seite zu finden der Parabel.

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Tipps

• Beachten Sie, dass in f(x) = ax² + bx + c, wenn b oder c gleich Null sind, verschwinden diese Zahlen. Zum Beispiel 12x² + 0x + 6 wird 12x² + 6, weil 0x 0 ist.
• Runden Sie Zahlen oder verwenden Sie Brüche, wie es Ihnen Ihr Algebralehrer sagt. Dies wird Ihnen helfen, Ihre quadratischen Gleichungen richtig darzustellen.