Eine Parabel ist ein Graph einer quadratischen Funktion und eine glatte "U"-förmige Kurve. Parabeln sind auch symmetrisch, dh sie können entlang einer Linie gefaltet werden, sodass alle Punkte auf einer Seite der Faltlinie mit den entsprechenden Punkten auf der anderen Seite der Faltlinie übereinstimmen. Die Faltlinie, auch Symmetrieachse genannt, ist die vertikale Linie, die durch den Scheitelpunkt geht. Jeder Punkt auf der Parabel ist von einem festen Punkt (dem Fokus) und einer festen geraden Linie (der Leitlinie) gleich weit entfernt. Um eine Parabel grafisch darzustellen, müssen Sie ihren Scheitelpunkt sowie mehrere Punkte auf beiden Seiten des Scheitelpunkts finden, um den Weg zu markieren, den die Punkte durchlaufen.
Schritte
Teil 1 von 2: Eine Parabel grafisch darstellen
Schritt 1. Verstehen Sie die Teile einer Parabel
Möglicherweise erhalten Sie vor Beginn bestimmte Informationen, und die Kenntnis der Terminologie hilft Ihnen, unnötige Schritte zu vermeiden. Hier sind die Teile der Parabel, die Sie kennen müssen:
- Der Fokus. Ein Fixpunkt im Inneren der Parabel, der zur formalen Definition der Kurve verwendet wird.
- Die Direktion. Eine feste, gerade Linie. Die Parabel ist der Ort (Reihe) von Punkten, in dem jeder gegebene Punkt den gleichen Abstand vom Fokus und der Leitlinie hat. (Siehe obiges Diagramm.)
- Die Symmetrieachse. Dies ist eine Gerade, die durch den Wendepunkt ("Vertex") der Parabel verläuft und von entsprechenden Punkten auf den beiden Armen der Parabel gleich weit entfernt ist.
- Der Scheitelpunkt. Der Punkt, an dem die Symmetrieachse die Parabel schneidet, wird als Scheitelpunkt der Parabel bezeichnet. Öffnet sich die Parabel nach oben oder rechts, ist der Scheitelpunkt ein Minimalpunkt der Kurve. Wenn er sich nach unten oder links öffnet, ist der Scheitelpunkt ein maximaler Punkt.
Schritt 2. Kennen Sie die Gleichung einer Parabel
Die allgemeine Gleichung einer Parabel ist y = ax2+ bx + c. Es kann auch in der noch allgemeineren Form y = a(x – h)² + k geschrieben werden, aber wir konzentrieren uns hier auf die erste Form der Gleichung.
- Wenn der Koeffizient a in der Gleichung positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben (in einer vertikal ausgerichteten Parabel), wie der Buchstabe "U", und ihr Scheitel ist ein Minimumpunkt. Wenn a negativ ist, öffnet sich die Parabel nach unten und hat an ihrem maximalen Punkt einen Scheitelpunkt. Wenn Sie Schwierigkeiten haben, sich daran zu erinnern, stellen Sie es sich folgendermaßen vor: Eine Gleichung mit einem positiven Wert sieht aus wie ein Lächeln; eine Gleichung mit einem negativen a-Wert sieht aus wie ein Stirnrunzeln.
- Nehmen wir an, Sie haben die folgende Gleichung: y = 2x2 -1. Diese Parabel wird wie ein "U" geformt, weil der a-Wert (2) positiv ist.
- Wenn die Gleichung einen quadrierten y-Term anstelle eines quadrierten x-Terms hat, wird die Parabel horizontal ausgerichtet und seitlich geöffnet, nach rechts oder links, wie ein "C" oder ein rückwärts gerichtetes "C". Zum Beispiel die Parabel y2 = x + 3 öffnet sich nach rechts, wie ein "C".
Schritt 3. Finden Sie die Symmetrieachse
Denken Sie daran, dass die Symmetrieachse die Gerade ist, die durch den Wendepunkt (Scheitel) der Parabel geht. Bei einer vertikalen Parabel (nach oben oder unten öffnend) entspricht die Achse der x-Koordinate des Scheitelpunkts, dh dem x-Wert des Punktes, an dem die Symmetrieachse die Parabel schneidet. Um die Symmetrieachse zu finden, verwenden Sie diese Formel: x = -b/2a.
- Im obigen Beispiel (y = 2x² -1), a = 2 und b = 0. Jetzt können Sie die Symmetrieachse berechnen, indem Sie die Zahlen einsetzen: x = -0 / (2)(2) = 0.
- In diesem Fall ist die Symmetrieachse x = 0 (das ist die y-Achse der Koordinatenebene).
Schritt 4. Suchen Sie den Scheitelpunkt
Sobald Sie die Symmetrieachse kennen, können Sie diesen Wert für x einsetzen, um die y-Koordinate zu erhalten. Diese beiden Koordinaten geben Ihnen den Scheitelpunkt der Parabel. In diesem Fall würden Sie 0 an 2x anschließen2 -1, um die y-Koordinate zu erhalten. y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1. Der Scheitelpunkt ist (0, -1) und die Parabel schneidet die y-Achse bei -1.
Die Koordinaten des Scheitelpunkts werden manchmal als (h, k) bezeichnet. In diesem Fall ist h 0 und k ist -1. Die Gleichung für die Parabel kann in der Form y = a(x – h)² + k geschrieben werden. In dieser Form ist der Scheitelpunkt der Punkt (h, k), und Sie müssen keine Mathematik betreiben, um den Scheitelpunkt zu finden, außer den Graphen richtig zu interpretieren
Schritt 5. Richten Sie eine Tabelle mit ausgewählten Werten von x ein
Erstellen Sie eine Tabelle mit bestimmten Werten von x in der ersten Spalte. Diese Tabelle gibt Ihnen die Koordinaten, die Sie benötigen, um die Gleichung grafisch darzustellen.
- Der Mittelwert von x sollte bei einer "vertikalen" Parabel die Symmetrieachse sein.
- Aus Symmetriegründen sollten Sie mindestens zwei Werte oberhalb und unterhalb des Mittelwertes für x in die Tabelle aufnehmen.
- Tragen Sie in diesem Beispiel den Wert der Symmetrieachse (x = 0) in die Mitte der Tabelle ein.
Schritt 6. Berechnen Sie die Werte der entsprechenden y-Koordinaten
Ersetzen Sie jeden Wert von x in die Parabelgleichung und berechnen Sie die entsprechenden Werte von y. Fügen Sie diese berechneten Werte von y in die Tabelle ein. In diesem Beispiel werden die Werte von y wie folgt berechnet:
- Für x = -2 wird y berechnet als: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
- Für x = -1 wird y berechnet als: y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Für x = 0 wird y wie folgt berechnet: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
- Für x = 1 wird y berechnet als: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Für x = 2 wird y berechnet als: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
Schritt 7. Fügen Sie die berechneten Werte von y in die Tabelle ein
Nachdem Sie nun mindestens fünf Koordinatenpaare für die Parabel gefunden haben, können Sie sie fast grafisch darstellen. Basierend auf Ihrer Arbeit haben Sie nun folgende Punkte: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Denken Sie daran, dass die Parabel in Bezug auf die Symmetrieachse gespiegelt (symmetrisch) ist. Dies bedeutet, dass die y-Koordinaten von Punkten direkt über der Symmetrieachse voneinander gleich sind. Die y-Koordinaten für die x-Koordinaten -2 und +2 sind beide 7; die y-Koordinaten für die x-Koordinaten -1 und +1 sind beide 1 und so weiter.
Schritt 8. Zeichnen Sie die Tabellenpunkte auf der Koordinatenebene
Jede Zeile der Tabelle bildet ein Koordinatenpaar (x, y) auf der Koordinatenebene. Zeichnen Sie alle Punkte mit den in der Tabelle angegebenen Koordinaten.
- Die x-Achse ist horizontal; die y-Achse ist vertikal.
- Die positiven Zahlen auf der y-Achse liegen über dem Punkt (0, 0) und die negativen Zahlen auf der y-Achse liegen unter dem Punkt (0, 0).
- Die positiven Zahlen auf der x-Achse befinden sich rechts vom Punkt (0, 0) und die negativen Zahlen auf der x-Achse links vom Punkt (0, 0).
Schritt 9. Verbinden Sie die Punkte
Um die Parabel darzustellen, verbinden Sie die im vorherigen Schritt gezeichneten Punkte. Der Graph in diesem Beispiel sieht wie ein U aus. Verbinden Sie die Punkte mit leicht gekrümmten (statt geraden) Linien. Dies erzeugt das genaueste Bild der Parabel (die über ihre gesamte Länge zumindest leicht gekrümmt ist). An beiden Enden der Parabel können Sie nach Belieben Pfeile zeichnen, die vom Scheitelpunkt weg zeigen. Dies zeigt an, dass die Parabel auf unbestimmte Zeit fortgesetzt wird.
Teil 2 von 2: Den Graphen einer Parabel verschieben
Wenn Sie eine Abkürzung zum Verschieben einer Parabel benötigen, ohne ihren Scheitelpunkt erneut finden und mehrere Punkte darauf neu zeichnen zu müssen, müssen Sie verstehen, wie man die Gleichung einer Parabel liest und lernen, sie vertikal oder horizontal zu verschieben. Beginnen Sie mit der Grundparabel: y = x2. Dieser hat seinen Scheitel bei (0, 0) und öffnet sich nach oben. Punkte darauf sind (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) und (2, 4). Sie können eine Parabel basierend auf ihrer Gleichung verschieben.
Schritt 1. Verschieben Sie eine Parabel nach oben
Betrachten Sie die Gleichung y = x2 +1. Dadurch wird die ursprüngliche Parabel um 1 Einheit nach oben verschoben. Der Scheitelpunkt ist jetzt (0, 1) statt (0, 0). Sie behält die exakte Form der ursprünglichen Parabel bei, aber jede y-Koordinate wird um 1 Einheit nach oben verschoben. Anstelle von (-1, 1) und (1, 1) zeichnen wir also (-1, 2) und (1, 2).
Schritt 2. Verschieben Sie eine Parabel nach unten
Nehmen Sie die Gleichung y = x2 -1. Wir verschieben die ursprüngliche Parabel um 1 Einheit nach unten, sodass der Scheitelpunkt jetzt (0, -1) statt (0, 0) ist. Sie hat immer noch die gleiche Form der ursprünglichen Parabel, aber jede y-Koordinate wird um 1 Einheit nach unten verschoben. Anstelle von (-1, 1) und (1, 1) zeichnen wir zum Beispiel (-1, 0) und (1, 0).
Schritt 3. Verschieben Sie eine Parabel nach links
Betrachten Sie die Gleichung y = (x + 1)2. Dadurch wird die ursprüngliche Parabel um eine Einheit nach links verschoben. Der Scheitelpunkt ist jetzt (-1, 0) statt (0, 0). Sie behält die Form der ursprünglichen Parabel bei, aber jede x-Koordinate wird um eine Einheit nach links verschoben. Anstelle von (-1, 1) und (1, 1) zeichnen wir beispielsweise (-2, 1) und (0, 1).
Schritt 4. Verschieben Sie eine Parabel nach rechts
Betrachten Sie die Gleichung y = (x - 1)2. Dies ist die ursprüngliche Parabel, die um eine Einheit nach rechts verschoben wurde. Der Scheitelpunkt ist jetzt (1, 0) statt (0, 0). Sie behält die Form der ursprünglichen Parabel bei, aber jede x-Koordinate wird um eine Einheit nach rechts verschoben. Anstelle von (-1, 1) und (1, 1) zeichnen wir beispielsweise (0, 1) und (2, 1).
