Eine rationale Funktion ist eine Gleichung, die die Form y = N(x)/D(x) annimmt, wobei N und D Polynome sind. Der Versuch, ein genaues Diagramm von Hand zu skizzieren, kann eine umfassende Übersicht über viele der wichtigsten Mathematikthemen der High School sein, von der grundlegenden Algebra bis zur Differentialrechnung. Betrachten Sie das folgende Beispiel: y = (2 x 2 - 6x + 5)/(4x + 2).
Schritte
Schritt 1. Finden Sie den y-Achsenabschnitt
Setze einfach x = 0. Alles außer den konstanten Termen verschwindet und es bleibt y = 5/2. Als Koordinatenpaar ausgedrückt, ist (0, 5/2) ein Punkt auf dem Graphen. Zeichnen Sie diesen Punkt ein.
Schritt 2. Finden Sie die horizontale Asymptote
Teilen Sie den Nenner durch den Zähler lange, um das Verhalten von y für große Absolutwerte von x zu bestimmen. In diesem Beispiel zeigt die Division, dass y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4) ist. Für große positive oder negative Werte von x nähert sich 17/(8 x + 4) Null an, und der Graph nähert sich der Linie y = (1/2) x – (7/4) an. Zeichnen Sie diese Linie mit einer gestrichelten oder leicht gezeichneten Linie.
- Wenn der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners, gibt es keine Division und die Asymptote ist y = 0.
- Wenn deg(N) = deg(D), ist die Asymptote eine horizontale Linie im Verhältnis der führenden Koeffizienten.
- Falls deg(N) = deg(D) + 1, ist die Asymptote eine Gerade, deren Steigung das Verhältnis der führenden Koeffizienten ist.
- Wenn deg(N) > deg(D) + 1, dann für große Werte von | x |, y geht als quadratisches, kubisches oder höhergradiges Polynom schnell ins positive oder negative Unendliche. In diesem Fall lohnt es sich wahrscheinlich nicht, den Quotienten der Division genau grafisch darzustellen.
Schritt 3. Finden Sie die Nullen
Eine rationale Funktion hat eine Null, wenn ihr Zähler Null ist, also setze N(x) = 0. Im Beispiel ist 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Die Diskriminante dieser Quadrate ist b 2 - 4 Wechselstrom = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Da die Diskriminante negativ ist, hat N(x) und folglich f(x) keine reellen Wurzeln. Der Graph schneidet niemals die x-Achse. Wenn Nullen gefunden wurden, fügen Sie diese Punkte zum Diagramm hinzu.
Schritt 4. Finden Sie die vertikalen Asymptoten
Eine vertikale Asymptote tritt auf, wenn der Nenner null ist. Die Einstellung 4 x + 2 = 0 ergibt die vertikale Linie x = -1/2. Zeichnen Sie jede vertikale Asymptote mit einer hellen oder gestrichelten Linie. Wenn ein Wert von x sowohl N(x) = 0 als auch D(x) = 0 macht, kann es dort eine vertikale Asymptote geben oder auch nicht. Dies ist selten, aber sehen Sie sich die Tipps an, wie Sie damit umgehen können, wenn es auftritt.
Schritt 5. Sehen Sie sich den Rest der Division in Schritt 2 an
Wann ist es positiv, negativ oder null? Im Beispiel ist der Zähler des Rests 17, was immer positiv ist. Der Nenner 4 x + 2 ist rechts von der vertikalen Asymptote positiv und links negativ. Dies bedeutet, dass der Graph sich der linearen Asymptote von oben für große positive Werte von x und von unten für große negative Werte von x nähert. Da 17/(8 x + 4) niemals Null sein kann, schneidet dieser Graph niemals die Gerade y = (1/2) x - (7/4). Fügen Sie dem Diagramm jetzt nichts hinzu, aber notieren Sie sich diese Schlussfolgerungen für später.
Schritt 6. Finden Sie die lokalen Extrema
Ein lokales Extremum kann immer dann auftreten, wenn N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = 0. Im Beispiel ist N'(x) = 4 x - 6 und D'(x) = 4. N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = (4 x - 6)(4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Erweiterung, Kombination von Termen und Division durch 4 Blätter x 2 + x - 4 = 0. Die quadratische Formel zeigt Wurzeln in der Nähe von x = 3/2 und x = -5/2. (Diese weichen um etwa 0,06 von den genauen Werten ab, aber unser Diagramm wird nicht präzise genug sein, um sich um diesen Detaillierungsgrad zu kümmern. Die Wahl einer vernünftigen rationalen Näherung erleichtert den nächsten Schritt.)
Schritt 7. Finden Sie die y-Werte jedes lokalen Extremums
Setzen Sie die x-Werte aus dem vorherigen Schritt wieder in die ursprüngliche rationale Funktion ein, um die entsprechenden y-Werte zu finden. Im Beispiel ist f(3/2) = 1/16 und f(-5/2) = -65/16. Fügen Sie diese Punkte (3/2, 1/16) und (-5/2, -65/16) zum Diagramm hinzu. Da wir im vorherigen Schritt approximiert haben, sind dies nicht die genauen Minima und Maxima, aber wahrscheinlich nahe beieinander. (Wir wissen, dass (3/2, 1/16) sehr nahe am lokalen Minimum liegt. Aus Schritt 3 wissen wir, dass y immer positiv ist, wenn x > -1/2 und wir einen Wert von nur 1/16 gefunden haben. Zumindest in diesem Fall ist der Fehler also wahrscheinlich geringer als die Dicke der Linie.)
Schritt 8. Verbinden Sie die Punkte und verlängern Sie den Graphen sanft von den bekannten Punkten zu den Asymptoten, wobei Sie darauf achten, sich ihnen aus der richtigen Richtung zu nähern
Achten Sie darauf, die x-Achse nur an den bereits in Schritt 3 gefundenen Punkten zu kreuzen. Überqueren Sie die horizontale oder lineare Asymptote nicht, außer an den bereits in Schritt 5 gefundenen Punkten. Wechseln Sie nicht von aufwärts geneigt zu abwärts geneigt, außer bei das im vorherigen Schritt gefundene Extrem.
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Tipps
- Einige dieser Schritte können das Lösen eines Polynoms hohen Grades beinhalten. Wenn Sie durch Faktorisierung, Formeln oder andere Mittel keine exakten Lösungen finden können, schätzen Sie die Lösungen mit numerischen Verfahren wie der Newton-Methode.
- Wenn Sie die Schritte der Reihe nach befolgen, ist es normalerweise nicht erforderlich, Tests der zweiten Ableitung oder ähnliche potenziell komplizierte Methoden zu verwenden, um zu bestimmen, ob die kritischen Werte lokale Maxima, lokale Minima oder keines von beiden sind. Versuchen Sie, zuerst die Informationen aus den vorherigen Schritten und ein wenig Logik zu verwenden.
- Wenn Sie dies nur mit Vorberechnungsmethoden tun möchten, können Sie die Schritte zum Finden der lokalen Extrema ersetzen, indem Sie mehrere zusätzliche (x, y) geordnete Paare zwischen jedem Asymptotenpaar berechnen. Alternativ, wenn es Ihnen egal ist, warum es funktioniert, gibt es keinen Grund, warum ein Vorkalkül-Student nicht die Ableitung eines Polynoms nehmen und N'(x)D(x) - N(x)D'(x) =. lösen kann 0.
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In seltenen Fällen können Zähler und Nenner einen gemeinsamen nicht konstanten Faktor haben. Wenn Sie die Schritte befolgen, wird dies als Null und eine vertikale Asymptote an derselben Stelle angezeigt. Das ist unmöglich und was tatsächlich passiert, ist eines der folgenden:
- Die Null in N(x) hat eine höhere Multiplizität als die Null in D(x). Der Graph von f (x) geht an dieser Stelle gegen Null, ist dort aber undefiniert. Zeigen Sie dies mit einem offenen Kreis um den Punkt an.
- Die Null in N(x) und die Null in D(x) haben die gleiche Multiplizität. Der Graph nähert sich für diesen Wert von x einem Punkt ungleich Null, ist dort aber nicht definiert. Geben Sie dies wieder mit einem offenen Kreis an.
- Die Null in N(x) hat eine geringere Multiplizität als die Null in D(x). Hier liegt eine vertikale Asymptote vor.
